一：单选题（每空5分，共40分）#

1.用表∅示空集，下列关系中不正确的是( )
A.∅∈∅
B.∅⊆∅
C. ∅∈{∅}
D.∅⊆{∅}

2.若正整数$m,n$满足等式$1012m+n=2023^{2025}$且$n≤2000$，则n=( )
A.$-1$
B.$1012$
C.$1$
D.$1011$

3.如图，正方体$ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$中，顶点A在平面α内，其余顶点在面α的同侧，顶点$A_1,B,C$到面α的距离分别为$\sqrt{6},1,2$，则该正方体的表面积是( )

A.$24$
B.$16\sqrt{2}$
C.$48$
D.$72$

4.方程$x^4-9x^3+54x^2-114x+68=0$有4个解$x_1,x_2,x_3,x_4$。则$|x_1+x_2+x_3 |$的最大值为( )

A.$8$
B.$\sqrt{61}$
C.$\sqrt{54}$
D.$7$

5.设一个袋子里有红、绿、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的 概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出绿色球时为止，记此时取出球的次数 为X，则X的数学期望E(X)为( )

A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$12$

6.存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有(　)

A.$f（sin2x）＝sinx$
B.$f（sin2x）＝x^2+x$
C.$f（x2+1）＝|x+1|$
D.$f（x2+2x）＝|x+1|$

7.已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上A,B,C三点，原点O为△ABC重心，则△ABC的面积是( )

A.$4$
B.$4.5$
C.$5$
D.$5.5$

8.已知函数$f(x)=a(x-x_1 )(x-x_2 )(x-x_3)(a >0)$，设曲线$y = f(x)$在点$(x_i,f(x_i ))$处切线的斜率为$k_i (i=1,2,3)$。若$x_1,x_2,x_3$均不相等，且$k_2=-2$，则$k_1+4k_3$的最小值为( )

A.$6$
B.$12$
C.$18$
D.$24$

二：多选题(每空6分，共18分)
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9.已知空间单位向量$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$满足$\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}$，若空间向量$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{b}⋅\overrightarrow{e_1}=2,\overrightarrow{b}⋅\overrightarrow{e_2}=\frac{5}{2}$,且对于任意$x,y∈R$，$|\overrightarrow{b}-(x_0 \overrightarrow{e_1}+y_0 \overrightarrow{e_2})|≥|\overrightarrow{b}-(x_0 \overrightarrow{e_1}+y_0 \overrightarrow{e_2})|=1$（$x_0，y_0∈R$）,则( )

A. $x_0＝1$
B. $y_0＝1$
C. $|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}$
D. $|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$

10.已知曲线C过原点，过C上任意一点P(不与O重合)可作一条与OP垂直且与$y^2=-4x$相切的直线，则( )

A．点$(0.5,-0.5)$在C上
B.P点横坐标的最大值小于1
C.C与$y=x^2$有2个交点
D.过$(\frac{1}{4},0)$作C的切线（不过O）与坐标轴围成的面积为$\frac{1}{16}$

11.下列说法中正确的有( )

A.$\frac{k^4+3k^2+1}{(k^2+1)(k^2+k+1)} (k>0)$的最小值是$\sqrt{2}-1$
B.设$x_k∈[-2,2](k=1,2,…2025),x_1+x_2+⋯+x_{2025}=0$,则$(x_1^3+x_2^3+⋯+x_{2025}^3)$的最大值是$4050$
C.若$ad-bc=1$,则$(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd)$的最小值是$\sqrt{3}$
D．若$4x=y^2+4$,则$(x+\sqrt{x^2-4x-14y+61})^2-61$的最小值是$-4$

三：填空题(每空5分，共15分)#

12.正方体$ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$中M,N分别为棱$A_1D_1$(靠近$A_1$)与棱$BB_1$(靠近$B$)的三等分点，G为CD上动点（含端点），面MNG截正方体棱BC于P，棱$A_1 B_1$于Q,则$(A_1 Q+BP)$的最小值是＿＿＿＿＿＿＿

13.将$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$绕原点逆时针旋转θ后得到$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,则$A+B+C+D+E+F$=＿＿＿＿＿＿＿＿＿

14.已知数列${ b_n }$与等差数列${a_n }$满足$b_n=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n$且${b_n}$前4项依次是1，4，10，20，记$S_n$为数列${b_n }$的前n项和，则$S_n$=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

四：解答题(共77分)
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15.如图，在体积为$\frac{15}{2}$的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，BC=2PQ=4AB=4
1）E为棱QB上一点（不与Q,B重合），证明：CE不可能与面ADQ平行
2）M,N为BC,PQ中点，G为△PCD重心，PQ//BC，PD⊥DC，QB⊥ MD，求面CQG与面QAB夹角的余弦值

16.已知△ABC中角A,B,C对边a,b,c,且$3cos^2 B+3cos^2 C+2sinAsin(A+\frac{\pi}{3})+\sqrt{3} sin⁡(B+C)cos(B-C)=6$
1）求C
2）在△ABC外取一点D，连DA,DB(△DAB与△CAB无公共区域)，若△DAB中AB上的中线长为6，且AC=BD,求△DAB面积的最大值

17.过焦点$F(1,0)$的直线L与抛物线$y^2=4x$交于$A_1,B_1$两点
1）点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q（点Q在点F的右侧，如下左图）.记△AFG，△CQG的面积分别为$S_1,S_2$.求$S_1/S_2$ 的最小值
2）若直线$l$的斜率为1，设$P_n (-\frac{n(n+3)}{2},2)$,如下构造$A_n,B_n$:直线$P_{n-1} B_{n-1} 、P_{n-1} A_{n-1}$分别与抛物线交于$B_n 、A_n$（如下右图），求证：$∀n∈N^*,A_n B_{n+1}//A_{n+1} B_{n+2}$

18.已知数列${a_n},{b_n },{c_n},c_n>0,c_1^3+c_2^3+c_3^3+⋯+c_n^3=S_n^2$ $(S_n^2$为$c_n$前n项和)，$a_1=c_2,b_1=c_4-1$，且：

1)求证：$\frac{c_1}{c_2} ∙\frac{c_3}{c_4} ∙...∙\frac{c_{2n-1}}{c_{2n}} <\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$
2)求数列${b_n }$通项公式

19.材料：若函数f(x)在区间[a,b]内恒大于0且函数$f(a)=0$,则$f'(a)≥0$。 现已知函数$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$
1）设$g(x)=f(2x)-4kf(x)$,当$x>0$时，$g(x)>0$，求k的最大值；
2）已知$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$,估计$\ln2$的近似值（精确到0.001）.